Jdi na obsah Jdi na menu
 


Únavový lom a výpočet potrubí s cyklickým zatížením

12. 7. 2013

 

1.    Použité značky a jednotky 

 

Poř. č.

Značka

Název veličiny

1.

Tal

doba do dosažení teoretického poškození

2.

t

čas

3.

t1

doba jednoho cyklu (při kterém je prováděno měření)

4.

(delta)Pi

vždy stejný nárůst velikosti s pořadovým číslem i

5.

Pmax

maximální dovolený tlak PS

6.

(sigma)D

výpočtová únavová pevnost pro pulzující tah (maximální dovolená)

7.

2(sigma)a

rozkmit napětí (tj. 2 amplitudy napětí)

8.

2(sigma)AD

rozkmit napětí odpovídající místu lomu Wöhlerovy křivky

9.

(delta)(sigma)i

každá jednotlivá změna napětí

10.

(delta)(sigma)v

reprezentativní rozkmit napětí

11.

(delta)(sigma)n

rozkmit napětí od návrhového zatížení

12.

DF

celkové poškození únavou materiálu

13.

L50

střední výpočtová životnost

14.

Lm

maximální výpočtová životnost

15.

neq

počet ekvivalentních zatěžovacích cyklů

16.

ni

počet zatěžovacích cyklů vždy o stejném tlaku či napětí (tj. jednotlivý stupeň) s pořadovým číslem i

17.

nc

celkový počet změn (zatěžovacích cyklů)

18.

N

počet kmitů napětí

19.

N0

počet kmitů odpovídající místu lomu Wöhlerovy křivky

20.

Ni

počet změn napětí o konstantní odpovídající velikosti, které by způsobilo zlom

21.

k

celkový počet změn napětí

22.

(gama)1

součinitel zohledňující vliv konstrukce

23.

(gama)2

součinitel časový

24.

(gama)fat

součinitel ekvivalentního namáhání

25.

m

součinitel sklonu Wöhlerovy křivky

26.

K

konstanta charakterizující vrub

 

 

 

 

 

 

2.  Teoretický úvod
         Převážná většina strojů a zařízení je při svém provozu podrobena působení časově proměnných sil jinak řečeno cyklickému namáhání, které způsobuje degradaci materiálu, obecně známou jako „únava materiálu“. Jednoduchým experimentálním zařízením určil již v roce 1870 A.Wöhler závislost amplitudy napětí na počtu únavových cyklů do lomu, tj.Wöhlerovu křivku. Této charakteristiky se užívá dodnes. Uvedená křivka platí tam, kde cyklické změny v tlaku, teplotě a vnějším zatížení mohou způsobit poškození únavovými trhlinami při úrovních, které jsou nižší než použité úrovně pro statické návrhové podmínky. Avšak reálné zatíženíové podmínky nemají harmonický, ale stochastický charakter. Pro praktické účely je nejdůležitější oblast nižších napětí a vyššího počtu cyklů. Proto mohou být Wöhlerovy křivky uspořádány různými způsoby.
     a) na šikmou část navazuje tzv. prahová hodnota, tento přístup zanedbává nepříznivývliv velkého počtu cyklů a rozkmitů menších.
      b) Časová pevnost bez omezení o jednotném sklonu
     c) Wöhlerova křivka bilineární, dovolující přihlédnout k vlivu velkého počtu cyklů o rozkmitu menším, než je prahová hodnota
     d) Wöhlerova křivka trilineární - na bilineární část navazuje prahová hodnota.
Mezi vlivy, které působí na únavovou únosnost počítáme:
     1. rozkmit napětí,
    2. koncentrace napětí vyvolaná hlavně vrubovými účinky, které souvisí s konstrukčními detaily
    3. počet cyklů na různých úrovních napětí, který je dán zatěžovacím spektrem tvořeným náhodnými provozními zatíženími.
Tyto tři vlivy jsou pro stanovení únosnosti při únavě rozhodující. Vlivy ostatních parametrů jsou podstatně méně významné. Proto většina normalizovaných zavádí poznatek, že šíření trhlin a počátečních defektů, jež se ve skutečném provedení konstrukce vždy vyskytují, je spojeno hlavně s rozkmitem napětí, zatímco vliv maximálního napětí je ve skutečnosti méně významný.
            Únavový lom je výsledkem mikroskopických procesů probíhajících ve struktuře materiálu. Postupné rozrušování kovu při proměnlivém zatěžování má nevratný kumulativní charakter, které se navenek projeví až v samotném závěru únavového procesu růstem
makroskopické trhliny a končí únavovým lomem. Viz obr. dole.
            Na uvedeném obrázku jsou znázorněna všechna tři stadia porušení materiálu únavou:
                                                               i.      Stadium změny mechanických vlastností materiálu
                                                             ii.      Stadium nukleace trhlin
                                                            iii.      Stadium šíření trhlin až do lomu
 

obr1.jpg

Obr.  Znázornění všech stádií porušení materiálu únavou
 
            Podle počtu zatěžovacích cyklů, jež vedou k únavovému lomu, rozlišujeme málocyklovou únavu a mnohocyklovou únavu. Pro mnohocyklovou únavu je charakteristické, že k porušení postačuje relativně nízká úroveň napětí, ale potřebný počet cyklů zatížení je řádově 105 a větší. Naopak pro málocyklovou únavu jsou příznačná vysoká napětí přesahující opakovaně mez kluzu, v důsledku čehož vynikají velké plastické deformace. Počet cyklů nepřesahuje počet 104.
        Velice častou příčinou vysokého počtu zatěžovacích cyklů jsou provozní vibrace vznikající v důsledku přítomnosti budícího zdroje, což jsou nejčastěji točivé stroje. Mimo známou otáč­kovou frekvenci točivých strojů se mohou v systémech také generovat tlakové půlzace při kmi­tání vodního sloupce, pokud systém není dokonale odvzdušněn, k vodním rázům při změněn skupenství dodávané kapaliny (voda - pára), popřípadě ke kavitaci.
Tepelná únava. Hlavním rysem degradačního mechanismu tepelné únavy je, že nemá etapu nukleace vad a mikrotrhlinky vznikají během několika málo prvních cyklů. To je způsobeno velkým teplotním a následně deformačním gradientem na povrchu tělesa při teplotních šocích. Významu tento mechanismus nabývá při teplotním rozdílu větším jak 150°C mezi médiem a stěnou. Charakteristickým rysem tepelné únavy je častá změna teploty vyvolávající častou změnu napětí, což může vést až k nukleaci defektu ve velmi krátkém čase. Mezi čtyři nejdůležitější teplotní zatížení patří:
-       teplotní rozvrstvení (rozložení) po průřezu na vodorovných úsecích potrubí
-       teplotní spád ve směru osy potrubí
-       míchání teplého a studeného média v T-kusech
-       teplotní šoky a častá změna teploty (odstavení, najíždění)
            Příklad konkrétní Wöhlerovy křivky pro materiál jakosti 12010 uvedený na dole je převzat z literatury viz příslušná kapitola

obr2.jpg

Obr. Skutečná Wöhlerova křivka pro materiál jakosti 12010
3.  Pevnostní výpočet
Normalizovaný výpočet únavy uplatněný v harmonizovaných normách k Pressure Equipment Directive.
Ve výše zmíněných harmonizovaných normách, mezi nejznámější patří ČSN EN 12952 Vodotrubné kotle a pomocná zařízení, ČSN EN 13445 Netopené tlakové nádoby a ČSN EN 13480 Kovová průmyslová potrubí, je uvedena nutnost výpočtu pro cyklické namáhání, tj. výpočet únavové únosnosti pro větší počet cyklů než je 500.
Jestliže se jedná o harmonické rezonanční kmitání, které nelze odstranit, potom počet vždy přesáhne určený limit a je nutný výpočet.
Cyklické změny v tlaku a teplotě a ve vnějším zatížení mohou způsobit poškození únavovými trhlinami, které jsou nižší než použité úrovně pro statické konstrukční podmínky. Analýza bere v úvahu velikost a frekvenci všech specifikovaných zatěžovacích podmínek a zajistit, že pro každé zatížení je dovolený počet cyklů Ni potrubí větší než počet předpokládaných zatěžovacích cyklů ni a kumulativní únavové poškození pro všechny tyto podmínky nepřekročí 1,0.
Princip výpočtu na únavovou únosnost spočívá v určení ekvivalentního počtu zatěžovacích cyklů a jeho porovnání s dovoleným počtem zatěžovacích cyklů odvozeném z Wöhlerovy křivky. V případě neodstraněného harmonického rezonančního kmitání se bere počet cyklů nutných do utlumění kmitání zjištěných harmonickou analýzou ( viz kapitola "Rezonanční kmitání potrubí a modální a harmonický výpočet" ). Ekvivalentní počet zatěžovacích cyklů se vypočítá podle vzorce:

vu1.jpg

Dovolený počet zatěžovacích cyklů je odvozen z Wöhlerových křivek uvedených v příslušných normách. Tento počet dovolených cyklů je korigován konkrétní konstrukcí. A to zejména :
- součinitel vlivu konkrétního tvaru potrubí,
- součinitel vlivu tloušťky stěny potrubí, 
- součinitel vlivu určující výpočtové teploty.
Tyto součinitelé jsou definovány též v jednotlivých normách.
4.  Životnostní výpočet
Potřebujeme vypočítat jak dlouho a s jakou pravděpodobností vydrží určité rizikové místo. Potřebujeme určit bezpečnou střední a maximální výpočtovou životnost uvedeného rizikového místa.
4.1. Teoretické zákonitosti pro odvození s využitím ČSN 731401
·                    Odvození součinitele ekvivalentního namáhání

Rozkmit napětí  lze stanovit z extrémních hodnot zatížení. Platí 

 vu20.jpg

Výpočtovou únavovou pevnost pro půlzující tah lze brát

vu21.jpg

Vzorec Wöhlerovy křivky lze napsat 

vu22.jpg

kde m = 3,5 odpovídá úhlu sklonu Wöhlerovy křivky
Pro konkrétní křivku lze psát: 

vu23.jpg

Z toho plyne součinitel časové pevnosti
 

vu24.jpg

Součinitel (gama)fat slouží k přiřazení jistého ekvivalentního namáhání, získaného ze složitého nepravidelného skutečného namáhání. Součinitel je závislý na poměru běžného provozního a návrhového zatížení, avšak při jeho podrobnějším výpočtu existují způsoby přesnějšího stanovení dovoleného namáhání  .
Jednou z nich je hypotéza Pamgrena a Minera, jež je založena na představě, že každá jednotlivá změna napětí, jejíž Ni násobné opakování by způsobilo lom. Při počtu k vstupních změn napětí o četnosti ni se poškození kumulují (sečítají) a lom lze očekávat při

 vu2.jpg

kde ni jsou četnosti a Ni mezní četnosti jednotlivých stupňů.
Wöhlerova křivka je dána vztahem 

vu27.jpg

Kde K = N0.(sigma)Dm1 je konstanta charakterizující příslušný vrub. Zavedeme-li součinitel zatížení jako poměr 

vu28.jpg

 pak platí

vu3.jpg

kde nc= suma ni je celkový počet změn po dobu života konstrukce.
Potom vyjde

vu4.jpg

Z toho vyjde součinitel ekvivalentního namáhání

vu5.jpg

m = 3,5 exponent sklonu Wöhlerovy křivky
·                    Odvození počtu cyklů do poruchy
Rozkmit napětí lze stanovit z extrémních hodnot zatížení. Platí

vu25.jpg

Vzorec Wöhlerovy křivky lze napsat
 

vu26.jpg

Zde je uvedena rovnice, z které je možno odvodit počet cyklů vedoucích s určitou pravděpodobností k poruše. Tyto cykly odpovídají určité výpočtové životnosti podle dosazených hodnot.

vu6.jpg

·                    Celkové poškození únavou
Jestliže jsme naměřili počty cyklů v jednom velkém zatěžovacím cyklu a víme čas za jaký tento velký zatěžovací cyklus proběhne a máme zároveň celkový počet cyklů N ,
Celkové poškození únavou materiálu DF je potom:

vu7.jpg

Jestliže jsme spočítali celkové poškození při únavě DF v jednom velkém zatěžovacím cyklu a víme čas za jaký tento velký zatěžovací cyklus proběhne, můžeme vypočítat střední výpočtovou životnost. Čili:

vu8.jpg

Pro výpočet Lmpoužijeme odpovídající hodnoty zlomu Wöhlerovy křivky
4.2. Teoretické zákonitosti pro odvození s využitím ČSN EN 12952-3 a ČSN EN12953-4
Jde o dvojici norem, kde je oddělený výpočet únavy a creepu kotle pro výrobu a pro provoz.
První norma je harmonizovaná k PEDu a proto se výpočet creepu může pohybovat jen v rámci PEDu. Druhá norma se však zabývá výpočty životnosti z hodnot získaných při provozu zařízení. 
Uvedená norma uvádí odpovídající poškození únavou pro každou třídu i,k cyklů zatížení. Tedy nárůst poškození únavou je

 vu9.jpg

kde      nik        je počet roztříděných cyklů účinků provozního zatížení ve třídě i,k
            Nik       je dovolený počet cyklů účinků zatížení ve třídě i, k odvozené z Wöhlerovy křivky pro křivku odpovídající požadované výpočtové životnosti.
Celkové poškození od únavy je

vu10.jpg

kde         DFrse          je poškození únavou způsobené zbylou posloupností lokálních extrémů (RSE)
4.3. Získání a zpracování provozního zatížení a jeho účinků
·                 Vstupní údaje
Výpočet je založen na naměřených hodnotách teploty, rozdílu teploty, tlaku, poměrné deformace, posuvu atd., tedy hodnot z nichž lze přímo vypočítat hodnoty skutečného namáhání. Tyto hodnoty se určují v krátkých časových úsecích a zpracovávají se pomocí automatizovaného záznamu dat.
Další krok je ten, že se vhodným programem z naměřených hodnot vypočítá namáhání ve vytypovaných rizikových bodech, a to pro každý časový úsek.
·                 Určení cyklického zatížení
Určení cyklického zatížení se neprovádí, jestliže počet různých zatěžovacích cyklů všech zdrojů je menší než 1000.
Základní cyklus je definován v následujícím obrázku. Počet základních cyklů se určuje podle grafu nahoře.
Vložené cykly jsou způsobeny:
pravidelným poklesem provozních hodnot způsobené technologií a jejich dorovnávání
větrem, nejsou-li instalovány v hale nebo v jinak způsobeném větrovém stínu
Dále jsou způsobeny i jevy, které se vyskytují při poruše tlakové sestavy
únikem tlaku způsobeným netěsností a jeho pravidelným dorovnáváním
kmitáním potrubní větvě.
 

obr3.jpg

Obr. Základní cyklus napětí v potrubí
 
Potřebujeme vypočítat jak dlouho a s jakou pravděpodobností vydrží určité rizikové místo. Potřebujeme určit bezpečnou střední a maximální výpočtovou životnost uvedeného rizikového místa.
 
·                    Definování a ukládání extrémů
Takto počítaná únava není závislá na době, po kterou napětí působí nebo na době mezi dvěma extrémy namáhání. Extrémy namáhání je třeba zjistit a chronologicky zaznamenat. Po každém měření a výpočtu namáhání určíme z posledních tří hodnot, zda předposlední hodnota nebyla lokálním extrémem. Je nutno ukládat naměřené hodnoty s jejich extrémy včetně datumu a času.
·                    Vyloučení extrémů souvisejících s cykly malých zatížení
Velký počet malých změn nezpůsobuje únavu materiálu a může být vyloučen. Leží-li hodnota posledního extrému mezi hodnotami předposledního a předpředposledního extrému a je-li rozdíl mezi předposledním a předpředposledním extrémem menší než určený elastický rozkmit, potom poslední a předposlední extrémy mohou být vypuštěny z dané posloupnosti.
·                    Určení cyklů zatížení
Jako základní postup ke zpracování takto chronologicky získaných záznamů extrémů napětí musí být použita metoda párových rozkmitů (range pair). Na této metodě je založena metoda stékání deště (rain flow method), tato metoda může být použita také. S těmito metodami je ve shodě tvrzení, že se cyklus zatížení uskuteční, pokud se hysterézní smyčka udávající závislost napětí na poměrné deformaci uzavře. Z posloupnosti lokálních extrémů určíme, zda se cyklus napětí uzavře či nikoli.

obr4.jpg

Obr. Schematické znázornění určení cyklů zatížení
 
I když je rozkmit poměrné deformace a namáhání přerušen menším rozkmitem v opačném směru, tento malý rozkmit způsobí uzavření hysterézní smyčky. Potom oba zmíněné extrémy tvoří cyklus zatížení.
·                    Zbylá posloupnost lokálních extrémů (RSE)
Posloupnost, která obsahuje neuzavřené cykly zatížení, se nazývá „zbylá posloupnost lokálních extrémů - RSE“. RSE se vždy skládá z kmitu s rostoucí amplitudou, po kterém následuje kmit s klesající amplitudou. Při automatizovaném zpracování je možno ukládat pouze aktuální RSE. Únava materiálu způsobená RSE nemůže být započtena stejným způsobem jako únava celými cykly zatížení. Může být i zanedbána.

obr5.jpg

 

Obr. Příklad určení cyklů zatížení
·                    Konečné zpracování
Jako výsledek dostaneme tabulku:
Hodnot rozkmitu napětí v jednotlivých stupních, ke kterým jsou přiřazeny jejich četnosti. Mohou být přiřazeny i v jednotlivých skupinách podle teploty. Kromě hodnot v tabulce je nutno ještě vyhodnotit: celkový počet změn, který je součtem jednotlivých četností, rozkmit napětí stanovený z extrémních hodnot zatížení. Dále je nutno vypočítat rozkmit napětí od návrhového zatížení.
 
Z uvedených hodnot můžeme např. získat součinitel ekvivalentního namáhání

vu11.jpg

4.4. Odolnost konstrukce proti únavě
Odolnost konstrukce proti únavě je daná Wöhlerovou křivkou. Wöhlerova křivka nemůže být určována výpočtem z jiných mechanických vlastností materiálu. Je výhradně výsledkem zkoušek. Základní podmínkou hodnocení únavových vlastností je statistické zpracování únavových zkoušek. Souborem dat v logaritmických souřadnicích je proložena pomocí regresní analýzy přímka a a dále je určeno horní a dolní omezení oblasti přímkami b. viz obr pod. V uvedené normě (viz literatura) reprezentuje přímka b pravděpodobnost bezporuchového stavu na úrovni 95%, Gaussova rozdělení pravděpodobnosti to představuje Bezpečnou výpočtovou životnost(Lb). My však v této úvaze potřebujeme získat Střední výpočtová životnost (L50) a Maximální výpočtová životnost (Lm). Střední výpočtová životnost (L50) tak odpovídá křivce a  a  Maximální výpočtová životnost (Lm) tak odpovídá křivce b avšak z druhé strany křivky a.
Z rozboru experimentálních hodnot vyplývá:
a)                                  Pro počet cyklů 104 až 106 v grafu v dvoulogaritmickém vyjádření dobře vystihuje závislost veličin přímka.
b)                               Při počtu cyklů větším než 106 je pokles Wöhlerovy křivky standardních vzorků velmi nepatrný. Přitom však rozptyl výsledků zkoušek v této oblasti vysokých počtů cyklů bývá značný, neboť v oblasti malých rozkmitů napětí se vyskytuje mnoho nešířících se únavových trhlin, které sice vznikly, ale nedospěly do labilního stavu. U skutečných těles s větším rozměrem a složitějším obrazcem vlastních pnutí a různým stupněm efektnosti se naopak ukazuje, že mezní křivka životnosti stále klesá i při vysokém počtu cyklů

obr6.jpg

Obr. Zpracování únavových zkoušek
 
Možno tedy konstatovat, že Wöhlerova křivka je získávána experimentálně a je výhradně výsledkem zkoušek. Základní podmínkou hodnocení únavových vlastností je statistické zpracování únavových zkoušek. Souborem dat v logaritmických souřadnicích je proložena pomocí regresní analýzy přímka a dále je určeno horní a dolní omezení oblasti přímkami. Do dalšího výpočtu je brána Wöhlerova  křivka představující Střední výpočtová životnost (L50) a Maximální výpočtová životnost (Lm).
Z obrázku je patrno, že pro hodnoty sigmaAD a N0 platí následující tabulka: 

 

Výpočtová životnost
N0
deltaAD v MPa
N0
deltaAD v MPa
Bezpečná výpočtová životnost(Lb).
106
150
2.106
125
Střední výpočtová životnost (L50)
106
190
2.106
170
Maximální výpočtová životnost (Lm).
106
260
2.106
210
Tabulka lomu Wöhlerovy křivky
Zde je uvedena rovnice, z které je možno odvodit počet cyklů vedoucích s určitou pravděpodobností k poruše. Tyto cykly odpovídají určité výpočtové životnosti podle dosazených hodnot.
 
vu12.jpg
Všechny hodnoty z uvedeného vzorce jsou již určeny. 
 

5. Literatura a odkazy pro další a podrobnější informace 

ČSN EN 12952-3 Vodotrubné kotle a pomocná zařízení, Část 3 Konstrukce a výpočet částí namáhaných tlakem.

ČSN EN 12952-4 Vodotrubné kotle a pomocná zařízení, Část 4 Provozní výpočty očekávané doby života kotle.

ČSN EN 13480-3 „Kovová průmyslová potrubí - Část3 Konstrukce a výpočet“, kap.10.3.2. “Zjednodušená únavová analýza“.

ČSN EN 13445-3 „Netopené tlakové nádoby – Část 3: Konstrukce a výpočet“ Díl II Kapitoly 17 a 18

ČSN 731401 "Navrhování ocelových konstrukcí"

Klesnil M., Lukáš P.: Únava kovových materiálů při mechanickém namáhání, Academia Praha 1975

Chalupa A.: Navrhování ocelových konstrukcí, Vydavatelství ÚNM, Praha 1982

Růžička M.: Kriteria a postupy při posuzování únavové pevnosti a životnosti konstrukcí,  ČVUT Praha, 1998

www.fatiga-software.com

www.reliability.estranky.cz

www.eurofitnet.org

www.forengineers.org