Jdi na obsah Jdi na menu
 


Plastové potrubí - reologické modelování

29. 7. 2013
 
 1. Použité značky a jednotky
 

Poř. č.

Značka

Název veličiny

1.

t

čas

2.

(sigma)

napětí

3.

(sigma)0

napětí (konstantní hodnota)

4.

E

modul tahové/tlakové pružnosti

5.

Ed

dynamický modul

6.

E1

reálná část dynamického modulu

7.

E2

imaginární část dynamického modulu

8.

Et

modul viskoelasticity

9.

G

modul pružnosti ve smyku

10.

(delta)L

prodloužení potrubí

11.

(epsílon)

poměrné prodloužení

12.

(epsílon)t

poměrné prodloužení při creepu v tahu

13.

(epsílon)(t)

poměrné prodloužení v závislosti na čase

14.

(lambda)

kinematická viskozita

15.

(eta)

dynamická viskozita

16.

(omega)

úhlová frekvence (s-1)

 

 

 

  

2. Základní články reologických modelů
 
            První je pružný (elastický) článek. Platí zde přímá úměrnost mezi napětí a deformací. Charakteristika tohoto článku je v našem případě modul pružnosti materiálu E. Rovnice, podle které se článek chová je tedy Hookův zákon.

vr1.jpg

            Druhý je „třecí“ (plastický) člen. Dokud není napětí na třecím členu větší než mez kluzu, je napětí stejné (tj. úměrné deformaci), jako v pružném článku, který je vedle, po překročení meze kluzu se již nezvětšuje. Charakteristika tohoto článku je tedy mez kluzu – sigma K.. Rovnice, podle které se článek chová je tedy:

vr2.jpg

            Třetí je tlumič. Modeluje viskozitu, tj. určuje fázové posunutí mezi napětím a deformací. Charakteristikou tohoto článku je tedy viskozita materiálu eta. Rovnice, podle které se článek chová je: 

vr3.jpg

kde dε/dt je derivace poměrného prodloužení podle času
        Symbol dynamické viskozity: η Viskozita je veličina charakterizující vnitřní tření a závisí především na přitažlivých silách mezi částicemi. Základní jednotka SI: Newtonsekunda na metr čtvereční, značka jednotky: Nsm-2, ekvivalentně též Pascalsekunda, jednotka Pa.s
 
 
3. Kelvin-Voigtův model
 
     V oblasti viskoelasticity platí Kelvin-Voigtův model. Použití tohoto modelu je nejvýhodnější pro creep. Viz obrázek dále.
 
 
r1.jpg
 
Obrázek  Kelvin-Voigtův model
 
Jeho chování vyjadřují rovnice:

vr4.jpg

vr5.jpg

vr6.jpg

Rovnice jsou platné jak pro tahová či tlaková tak pro smyková napětí.
 
·                 Zatížení způsobující náhlé napětí
Jestliže náhle vzroste napětí na konstantní hodnotu σ0, bude se deformace přibližovat k hodnotě čistě pružného materiálu σ0/E. Avšak s časem se bude odchylovat exponenciálně.:

vr7.jpg

 kde

vr8.jpg

V nekonečném čase se deformace limitně přiblíží k hodnotě:

vr9.jpg

Ačkoli je tento model vyhovující pro creep, nevyhovuje pro popis relaxace.

 
·                 Dynamický modul
Komplexní číslo dynamického modulu je dáno vztahem:

vr10.jpg

Potom reálná a imaginární část dynamického modulu je dána:

vr11.jpg

vr12.jpg

Úhlová frekvence je definovaná jako změna fáze za jednotku času:

vr13.jpg

Dále platí, že   

vr14.jpg

Imaginární část dynamického modulu tedy můžeme též určit jako: vr15.jpg za čas   vr16.jpg  .
 

 4. Maxwellův model

V oblasti viskoelasticity platí Maxwellův model. Použití tohoto modelu je nejvýhodnější pro relaxaci napětí. Viz obrázek dále.
 
 
r2.jpg
Obrázek  Maxwellův model
Jeho chování vyjadřují rovnice: 

vr17.jpg

vr18.jpg 

vr19.jpg

K zápisu rovnice můžeme použít i tvar s tečkami:

 vr20.jpg
      Tuto rovnici můžeme aplikovat na namáhání smykem nebo tahem. Model je aplikovatelný na případ malých deformací, pro velké deformace je nutno použít nějakou geometrickou nelinearitu.
·                 Náhlá deformace
Jestliže materiál deformujeme náhlou deformací vr21.jpg, pak napětí s časem klesá s časovou charakteristikou vr22.jpg. Obrázek dole ukazuje závislost bezrozměrného napětí vr23.jpg na bezrozměrném čase vr24.jpg
 

r3.jpg

Obrázek  Závislost bezrozměrného napětí na bezrozměrném čase s konstantní deformací
 

Jestliže uvolníme materiál v čase t1, potom pružný článek vrátí vše zpět na hodnotu:

vr25.jpg

Protože se viskozní článek nevrátí na původní délku, nevratná část deformace se vyjádří takto:

vr26.jpg

·   Dynamický modul v Maxwellově modelu
Komplexní číslo dynamického modulu má hodnotu:

vr27.jpg

 
5. Norton-Hoffův model
 
      V oblasti viskoplasticity platí Norton-Hoffův model. Použití tohoto modelu je pro případ, kdy není již žádná pružná deformace, tj nad mezí kluzu. Viz obrázek dále. Tuto viskoelastickou oblast však zde neuvažujeme a v modelu není reprezentována ani příslušným článkem.

r4.jpg 

Obrázek  Norton - Hoffův model pro dokonale viskoplastické těleso
 
Pro dokonale viskoplastické těleso je napětí funkcí rychlosti neustále se měnící deformace. Pružnost je v modelu zanedbatelná a mez kluzu je σy = 0. Model má potom rovnici:

vr29.jpg

V tomto modelu je koeficient viskozity nelineární funkcí a je dán rovnicí (platí pro jednorozměrnou napjatost)

vr30.jpg

kde    N      je parametr tvaru, jestliže N =0, jde o pevné viskoelastické těleso.    

Tento model se kromě jiného hodí pro plasty zejména za vyšších teplot.

 
 
6. Literatura a odkazy pro další a podrobnější informace 
 

Willoughby D.A. a kol.: Plastic piping handbook, McGraw-Hill,USA, 2004

Roylance, D.: Engineering Viscoelasticity, Massachusetts Institute of Technology, 2001
Meyers M.A., Chawla K.K.: Mechanical Behavior of Materials, 2nd ed. Cambridge University Press, 2009.

McCrum N.G., Buckley C.P., Bucknell C.B.: Principles of Polymer Engineering, Oxford University Press, 1997
  Rosato, D.V. a ostatní: Plastics Design Handbook, Springer, 2001.