Jdi na obsah Jdi na menu
 


2. Metoda konečných prvků

26. 7. 2013

 

 1. Úvodní poznámky

            Zatímco tlakové nádoby je možno počítat jednoduše metodou Design by formulae. A to vzorci, které byly odvozeny z membránové teorie, eventuelně z plastické únosnosti, u potrubního systému je těžké a velmi pracné vypočítat zatížení jednotlivých potrubních komponent ze zatížení celkového z tohoto důvodu se využívají speciální programy, které využívají metodu konečných prvků s tím, že konkrétní prvky májí blízko ke komkrétním potrubním komponentám. Metoda konečných prvků je velmi zjednodušeně vysvětlena dále.

            Výsledky z počítačového programu jsou popsány v dalších kapitolách, jsou zde různé mezní stavy, které jsou v této publikaci popsány. Nejproblematičtější je vyhodnocení napětí, které je provedeno analýzou a kategorizací napětí. Vždy se zde tedy postupuje metodou Design by analysis.

           Metoda konečných prvků se objevila v polovině padesátých let pod označením tuhostní analýza. V inženýrské praxi je to metoda maticová. Použití MKP znamená řešit rozsáhlé výpočty lineárních rovnic, případě vlastních čísel a tvarů, které jsou upraveny do matic. Proto je vývoj této metody úzce spjat s rozvojem počítačů, bez nichž by její použití nebylo myslitelné.

           Výhodnost metody konečných prvků záleží v možnosti automatizace řešení složitých technických problémů, ve vysokém stupni přesnosti výsledků a v možnosti správně vystihnout skutečné vlastnosti konstrukcí.

 

2. Základní principy

2.1. Podstata řešení

             Při aplikaci metody konečných prvků se konstrukce považují za soustavu konstrukčních elementů, vzájemně spojených v konečném počtu uzlových bodů (nodes). Pokud jsou známy vztahy mezi silami a posuvy uzlových bodů, je možné provést řešení vlastností konstrukce. Pružná konstrukce se rozdělí na konečný počet elementů spojené vzájemně v konečném počtu uzlových bodů. V těchto uzlových bodech je nutno zavést síly, reprezentující účinek napětí na okrajích prvků. Je-li takováto idealizace provedena tak, že je z hlediska přesnosti řešení přijatelná, je možné za pomocí počítače provést numeřické řešení problému matematické teorie pružnosti.

             Aby se řešení problému pružného konstrukce převedlo na metodicky stejný postup řešení jako u soustavy konstrukčních prvků, je nutné provést tyto úkony:

a)    Rozdělit konstrukci myšlenými řezy na určitý konečný počet prvků. Uvážit, že komponenty jsou vzájemně spojeny v konečném počtu uzlových bodů umístěných na okrajích prvku. Posuvy těchto uzlových bodů se považují za základní neznámé

b)    Zvolí se funkce, které se považují za definice posuvů bodů uvnitř prvků a které se vyjádří pomocí posuvů uzlových bodů. Obvykle se tyto funkce volí v lineárních tvarech, neboť vzhledem k tomu, že jde o první aproximaci, je tento tvar výhodný, jestliže je zároveň dodržena podmínka spojitosti posuvů na okrajích prvků.

c)     Z takto zvolených funkcí posuvů lze vyjádřit poměrné deformace uvnitř prvků. Pomocí obecného vyjádření Hookova zákona, lze definovat napětí ve všech bodech prvků

d)     Stanoví se podmínka rovnováhy ve všech uzlových bodech po zavedení sil, soustředěných v těchto uzlových bodech od posuvů těchto bodů, vnějšího zatížení včetně objemových sil a sil od tepelných dilatací.

Používá se maticový zápis, který umožňuje velkou přehlednost výpočtu, umožňující sestavení výkonného softwareu. Maticový zápis používá matici sil, matici posuvů a matici tuhosti. Aplikace metody konečných prvků má tedy smysl jen tehdy, je-li k výpočtu použito výpočetní techniky.

 

2.2. Požadavek konvergence

          Při zhušťování sítě konečných prvků se numerické řešení musí blížit k řešení odpovídajícího reálného problému. Tento požadavek je zaručen při splnění alespoň minimálních požadavků spojitosti použitého typu prvku s deformačními parametry (spojitost vposuvech na hranicích u lineárních prvků s deformačními parametry u,v, w a spojitost 1. derivací posuvů navíc u prvků s rotacemi).

 

2.3.Aplikace metody konečných prvků pro potrubní systémy

                U potrubních systémů se nabízí jako konstrukční prvek použít potrubní kompomentu anebo několik konstrukčních prvků v komponentě. Potrubí se skládá především z takového typu prvku, který má dva uzly, tj. místa, kde se prvek stýká s okolními komponenty nebo okolím. Uzlový bod je tedy minimálně v každém příčném sváru potrubí. Uzlový bod musí být také v připojení potrubí na čerpadlo, na aparát či jiné potrubí a v podpěrách. Podpěr je několik typů podle reakcí (síly, momenty), podle pružnosti jednotlivých reakcí a podle tlumení vibrací jednotlivých reakcí.

 

2.4. Okrajové podmínky

Potrubní systémy májí tyto okrajové podmínky:

   1.      Jsou to silové okrajové podmínky, které jsou většinou to, co se uvádí pod pojmem zatížení potrubí – viz příslušné kapitoly (tj. tlak a teplota media, klimatická zatížení, tlak půdy atd.).

   2.      Jsou to geometrické okrajové podmínky, tj. začátek a konec potrubí a jeho upevnění (např. přírubou k aparátu) a všechny druhy podpěr

 

2.5. Zásady číslování uzlů (nodes)

           1. Je výhodné číslování ve směru toku tekutiny

       2.  První bod potrubní větve (node 10) je na tělese aparátu, na

němž je přivařeno hrdlo - tedy node 10 je z hlediska projektu potrubí

na aparátu nikoli na potrubí.

            3. V určeném bodě působí zatěžovací síly hrdel a pohyby hrdla

způsobené např. tepelnou roztažností aparátu

             4. Je výhodné mít ve výpočtovém modelu i aparáty, tyto se však číslují výrazným číselným oddělením nápř. řádově jinak.

              5. V místě, kde chceme znát nějakou pružnostně-pevnostní

veličinu (deformaci, napětí, vnitřní síly apod.), umístíme uzel a očíslujeme ho.

 
 
3. Literatura a odkazy pro další a podrobnější informace 
 
Puchmajer P.: Úvod do statiky potrubních systémů I. a II. díl, ČVUT fakulta strojní Praha, 1977 a 1979 
Schneider P.: Aplikovaná metoda konečných prvků, VUT Brno,