Jdi na obsah Jdi na menu
 


1. Membránový stav napjatosti a jiné vztahy

8. 6. 2013

1.   Použité značky a jednotky  

Poř. č.

Značka

Název veličiny

1.

N1, N2 s pruhem

normálové síly na jednotku délky

2.

M

moment síly (všeobecně)

3.

(sigma)

Napětí (tahové, tlakové)

4.

(sigma) 1,2,3

hlavní napětí

5.

(sigma)x,y,z

osové napětí v jednotlivých osách

6.

tau

smykové napětí

7.

f

dovolené namáhání

8.

E

modul tahové/tlakové pružnosti

9.

G

modul pružnosti ve smyku

10.

p, pc

výpočtový tlak

11.

tc

výpočtová teplota

12.

h

tloušťka stěny potrubí

13.

Do, D

vnější průměr trubky

14.

Ds

střední průměr trubky

15.

d

vnitřní průměr potrubí

16.

L

délka (tj. původní) potrubí.

17.

(delta)L

prodloužení potrubí

18.

(epsílon)

poměrné prodloužení

19.

(mí)

Poissonovo číslo

20.

r, rs

střední poloměr příčného průřezu potrubí

21.

r1, r2

střední poloměry křivosti obecné skořepiny

22.

Q

výslednice vnějších sil na oddělenou část

23.

Q1

tíha tekutiny

24.

Q2

tíha pláště skořepiny

25.

Q3

tlaková síla

26.

J

moment setrvačnosti průřezu (všeobecně)

27.

Jx

kvadratický moment setrvačnosti průřezu potrubí

28.

Jp

polární moment setrvačnosti průřezu potrubí

29.

i

kvadratický poloměr setrvačnosti průřezu

30.

Z

průřezový modul potrubí

31.

(ró)

hustota kapaliny či jiná hustota

32.

g

gravitační konstanta

33.

m

hmotnost  trubky

 

 

2. Skořepinové potrubní komponenty s neporušeným membránovým stavem napětí
 
2.1 Skořepiny
 
             Skořepiny jsou útvary plošného charakteru (tj. s jedním rozměrem výrazně menším než zbývající dva). Tvar skořepiny je dán střednicovou plochou, definovanou půlícími body tloušťky skořepiny, a tloušťkou skořepiny h . Pro střednicovou plochu musíme v každém jejím bodě znát oba hlavní poloměry křivosti. Pro tenkou skořepinu je složka napjatosti sigma z zanedbatelná oproti sigma x a sigma y. Také je možno dobře předpokládat nulové hodnoty smykových složek napjatosti tau x a tau y , třetí smyková složka tau z nemusí být obecně rovna 0.
 
2.2.  Základní potrubní komponenty

       Ve všeobecnosti se základní komponenty potrubí skládají z částí, které tvoří geometrické rotačně symetrické útvary, a to tyto:

a)      válec, což je vlastní rovné potrubí

b)      anuloid, jehož části se využívají jako oblouk nebo koleno či obecně ohyb, které nemají porušené podmínky membránového stavu napjatosti (např. musí být dodržena rotační symetrie)

c)      kužel, což je redukce

d)     koule, což představuje kulové zakončení (zaslepení) potrubí, armaturu s částí tělesa ve tvaru koule nebo rozbočku ve tvaru koule z níž navazují jednotlivé potrubní větve

U výše uvedených, jak bude ukázáno dále, se využívá teorie skořepin a membránového stavu napjatosti.

 

2.3. Membránový a momentový stav napjatosti

 

       Uvedené tenkostěnné rotační útvary, které samy osobě jsou schopny přenášet jedině tahová napětí, vyvolaná vnitřním přetlakem. Tato tahová napětí jsou rovnoměrně rozdělena v průřezu stěny. Hlavní směry membránových napětí jsou obvodové a poledníkové (u válce jde o směr osový). Napětí ve směru radiálním se zanedbává.

        Vlastní potrubí však není membrána, nýbrž skořepina, neboť vlivem tloušťky stěny větší, než které přísluší velikosti samotného  membránového napětí jsou schopny přenášet i napětí ohybová tj. skořepinová. Tato napětí vznikají v místech přechodu jednoho druhu rotačně symetrického útvaru na jiný, např. napojení redukce nebo kolena na rovné potrubí. Přestože skořepinová napětí dosahují často vysokých hodnot, mají membránová napětí rozhodující vliv na pevnost. Proto se s nimi počítá jako s hodnotou základní.

Dále budeme rozebírat tenké skořepiny s membránovým stavem napjatosti, který je aplikací teorií rovinné napjatosti. Stav napjatosti daný tečně působícími silami ke střednicové ploše označujeme jako membránový, který je z hlediska využití materiálu nejvýhodnější. Skořepina v membránovém stavu nepřenáší ohybová a příčná lokální zatížení. Aby byla možná rovnováha membránových sil a spojitého zatížení, musí být splněny následující podmínky:

a)                 Geometrické parametry skořepiny, tj. tloušťka, poloměry křivosti a polohy středů křivosti se nemění náhle.

b)                Osamělé síly, zatěžující skořepinu, musí ležet v tečné rovině střednicové plochy.

c)                 Zatížení skořepiny se nesmí měnit náhle.

d)                Uložení skořepiny musí být staticky určité a musí vyhovovat podmínce pro osamělé síly (podmínka b)

Nedodržení kterékoliv z těchto podmínek vede ke složitějšímu stavu napjatosti zahrnujícímu ohyb a krut, které dávají špičky napětí na povrchu skořepiny. Tuto situaci nazýváme momentový stav napjatosti.  V místě podepření skořepiny dochází k porušení membránového stavu napjatosti a v hraniční oblasti vzniká momentový stav napjatosti. Ten vyvolává účinky, které se výrazně projevují v nejbližším okolí místa vzniku (řádově do vzdálenosti odmocnina z r.h), se označují jako skořepinové. Momentový stav napjatosti se tak s rostoucí vzdáleností od kraje rychle utlumí.

Podobně dochází k lokálnímu porušení pouze membránové napjatosti vlivem defektů skořepiny (náhlá změna tloušťky v omezené oblasti, lokální vyboulení a pod.) nebo při zatížení osamělými silami a momenty.

 

2.4.   Napjatost tenkostěnné rotační skořepiny zatížené vnitřním spojitým zatížením -  Laplaceova rovnice

 

K určení napjatosti ve stěně skořepiny si vytkneme element o rozměrech ds1  ds2, který je omezen soumeznými rovnoběžkovými a meřidiálními řezy viz obr.:1. Ve stěnách tohoto elementu působí za podmínek membránové napjatosti a rotační symetrie pouze hlavní napětí sigma 1 a sigma 2.

 

obr1.jpg

Obr.  Vytknutý element ve stěně skořepiny

 

            Z rovnováhy uvažovaného elementu ve směru normály n dostaneme

v1.jpg

 

Po dosazení    v2.jpg a  v3.jpg

a s ohledem na malé hodnoty úhlů d alfa a d beta  

v4.jpg  a   v5.jpg       

dostaneme po úpravě tzv. Laplaceovu rovnici pro normálové síly na jednotku délky

nebo přímo pro hlavní napětí

 v6.jpg

Tato rovnice obsahuje ale dvě neznámé sigma1 a sigma2 a proto musíme použít druhou podmínku rovnováhy, tentokráte pro část skořepiny oddělenou rovnoběžkou, viz obrázek. 

 

obr2.jpg

Obr. Část skořepiny oddělená rovnoběžkou

 

Neoddělenou část působí ve směru osy skořepiny o výslednice vnějších sil na oddělenou část Q , která se rovná součtu tíhy tekutiny v oddělené části Q1, tíhy pláště skořepiny Q2 a tlakové síly Q3.  V místě řezu působí výslednice vnitřních sil od napětí  .

v8.jpg

Z podmínky rovnováhy vyjde:

v9.jpg

a dále dostaneme

v10.jpg

Řešením uvedených rovnic při vyjádření konkrétní závislosti tlaku p=p(y) dostaneme vztahy pro průběhy hlavních napětí sigma1 a sigma2.

            Laplaceova rovnice je tudíž odvozena pro tlak, který v ní setrvává a obecná skořepina, pro kterou je odvozena je tedy tlakově uzavřena, tj. předpokládáme, že tlak z ní neutíká a projeví s v obou hlavních napětích.   

 

3. Literatura a odkazy pro další a podrobnější informační zdroje 

Timošenko Š.P.: Pružnost a pevnost II.díl, Technicko-vědecké vydavatelství, Praha, 1951

Němec J.: Výpočty pevnosti tlakových nádob, SNTL Praha, 1962

Kuba F.: Teorie pružnosti a vybrané aplikace, SNTL Praha, 1982

Hájek E. a kolektiv: Pružnost a pevnost I., Ediční středisko ČVUT 1984

Křupka V.: Výpočet válcových tenkostěnných kovových nádob a potrubí, SNTL Praha, 1967