Jdi na obsah Jdi na menu
 


Koleno, oblouk

10. 10. 2013

 

1.    Použité značky a jednotky

 

Poř. č.

Značka

Název veličiny

1.

Mo

ohybový moment

2.

Wo

průřezový modul trubky

3.

E

modul pružnosti

4.

J

moment setrvačnosti průřezu

5.

(ksí)

původní úhel v oblouku

6.

(delta)(ksí)

nárůst úhlu v oblouku způsobený Mo

7.

D

vnější průměr průřezu trubky

8.

d

vnitřní průměr průřezu trubky

9.

rs

střední poloměr průřezu trubky

10.

s

tloušťka stěny trubky

11.

D1

vnější delší rozměr elipsovitého průřezu trubky

12.

D2

vnější kratší rozměr elipsovitého průřezu trubky

13.

d1

vnitřní delší rozměr elipsovitého průřezu trubky

14.

d2

vnitřní kratší rozměr elipsovitého průřezu trubky

15.

R

střední poloměr potrubního oblouku

16.

h

charakteristické číslo

17.

kf

součinitel poddajnosti

18.

i

součinitel koncentrace napětí

19.

 

 

20.

 

 

 

2. Porušení membránového stavu napětí

2.1. Membránový stav napětí a anuloid

          V anuloidu samém platí membránový stav napětí. Rozdíl mezi membránovým a momentovým stavem napjatosti je vysvětlen v kapitole "Membránový stav napětí a jiné stavy" . Rozdělení napětí v anuloidu v případě membránového stavu napětí najdeme v kapitole "Anuloid". Obě kapitoly jsou na těchto našich stránkách. Z této kapitoly uvedeme obrázek znázorňující rozdělení obou hlavních napětí a vzorců pro jejich výpočet. 

obr6.jpg

Obr. Průběhy napětí v anuloidu

              Na obrázku je uveden vlevo průběh obvodového a vpravo průběh osového napětí. Obě hlavní napětí se vypočítají podle těchto vzorců (první je uvedeno obvodové napětí na druhém místě osové napětí):      

anul13.jpg

 anul14.jpg

 

2.2. Anuloid a jeho aplikace jako ohyb (tj. koleno a oblouk) v potrubní sestavě

             Jestliže budeme chtít získat z anuloidu ohyb (tj. koleno či oblouk), musíme anuloid rozdělit. V případě požadavku na ohyb devadesátistupňový anuloid rozčtvrtíme. Použijeme-li obyb vnějaké sestavě potrubí, musíme na každý z obou řezů dosadit dvojici momentů. V tomto případě pak dochází k porušení membránového stavu vlivem zatížení a vlivem toho, že se nejedná o anuloid, ale o část anuloidu. U zakřivených částí potrubí byl zjištěn nesouhlas vztahů mezi silou a deformací počítaných dle teorie prismatických tenkých křivých prutů. První matematický popis tohoto jevu podal von Kármán . 

 

2.3. Napětí způsobená trvalou deformací průřezu ohybu při výrobě

Dále zde ještě působí deformace trubkového ohybu způsobená výrobou, kde výchozí průřez je již zploštělý vlivem technologie výroby při ohýbání z rovného kusu. Při větším zploštění během výroby lze tento vliv částečně při výpočtu eliminovat korekcí momentu setrvačnosti příčného průřezu - viz dále.
 

3. Součinitel poddajnosti pro ohyb

            Při určení součinitele poddajnosti (Flexibility factor) k vyjadřuje Theodor von Kármán součinitele poddajnosti jako funkci charakteristického čísla oblouku hf:
 

vz9.jpg

Podle původní práce von Kármánovy je součinitel poddajnosti roven:

vz10.jpg

Později bylo prokázáno, že tento vztah platí jen pro hf větší nebo rovno 0,3. Clark a Reissner řešili ohyb oblouků na základě teorie skořepin a dospěli k jednotnému výrazu

vz11.jpg

který platí pro hf menší nebo rovno 1, což je pravidelně splněno. Hodnoty k v tomto tvaru se užívá dnes ve všech dostupných technických normách.
Převrácená hodnota součinitele poddajnosti oblouku je tzv. Kármánův součinitel:

vz12.jpg

 

4.Součinitel koncentrace napětí pro ohyb

4.1. Rozložení podélných napětí

Při rovinném ohybu tenkého křivého prutu dochází hlavně k podélným deformacím. V jejich důsledku vznikají sice také příčná prodloužení či zkrácení, která lze určit z podélné deformace pomocí Poissonova čísla. Pro dutý křivý prut tyto zásady neplatí. Příčný průřez se deformuje po celém obvodě, mění svoji ovalitu a tím vznikají kromě podélných napětí ještě napětí obvodová. V důsledku nepravidelných deformací není ani podélné napětí rozloženo podle zákona roviny a při menších poloměrech ohybu (asi R < 5 DN) dochází u hladkých ohybů a svařovaných oblouků k posunutí neutrální osy směrem ke středu oblouku.

obr.2.jpg

Obr. Rozložení podélných napětí
 
Je zde patrný také posun neutrální osy. Maximální podélné napětí v oblouku se srovnává při výpočtu s maximálním napětím v přímé trubce, které by v ní podélných deformací ve vnějším vzniklo při působení stejného ohybového momentu, povrchu oblouku ( + prodloužení-stlačení); jenž působí na trubkový oblouk. V oblouku však vznikne maximální napětí vyšší. Toto zvýšení se vyjadřuje tzv. součinitelem zvýšení podélného napětí neboli intenzifikačním faktorem podélných napětí i. Podle Theodora von Kármána je
 
 vz10.jpg
 
což platí jen pro velmi mírné oblouky a charakteristickým číslem hf větším nebo rovno 1,472. Clark a Reissner odvodili na základě skořepin výraz:
 

vz14.jpg

 
Největší ohybové podélné napětí v oblouku bude tedy:
 

vz15.jpg

 
Polohu vlákna s max. podélným napětím, danou úhlem v radiánech je možno podle Clarka a Reissnera zjistit z výrazu:

vz16.jpg

 4.2. Rozložení obvodových napětí
 
Přítomnost obvodových (příčných) napětí v trubkovém oblouku je dána zploštěním příčného průřezu. Podle původních představ měla být tato změna tvaru příčného průřezu způsobena čistým ohybovým namáháním, tj. lze očekávat rozdělení obvodového namáhání po tloušťce stěny podle zákona roviny. Jeho velikost měla být stejná na vnějším i vnitřním povrchu trubky (absolutní hodnota), ve středu tloušťky stěny pak lze očekávat příčné napětí nulové. Tyto předpoklady se v praxi nepotvrdily. Ve skutečnosti je rozdělení napětí po obvodě i tloušťce stěny nepravidelné.

obr.3.jpg

Obr. Rozložení obvodových napětí
 
Obr. ukazuje příklad rozložení obvodových deformací na vnějším povrchu oblouku, vynášených však radiálně. Rozložení deformací je úměrné průběhu napětí. Je vnějším povrchu oblouku patrné, že obvodová napětí mají v okolí . = 0 a . = (+ prodloužení; - stlačení) 180° dvě špičky, jejichž hodnoty mohou převýšit mez kluzu i při jinak malém napětí v ostatních partiích. To není na závadu, protože jde o velmi úzkou oblast. Vyslovené tečení nastává až tehdy, když obvodové napětí ve středu tloušťky stěny převýší mez kluzu. Tento stav je velmi těžko experimentálně zjistitelný, protože na vnitřním povrchu oblouku lze obvodová napětí sledovat jen s velkými obtížemi. Při měření bylo zjištěno, že obvodová napětí jsou na vnější i vnitřní straně přibližně stejná. Zvětší-li se tloušťka stěny s, převyšují již obvodová napětí na vnitřním povrchu hodnoty napětí na povrchu vnějším. Hodnota špičky obvodových napětí pro hodnoty hf větší nebo rovno 0,3. Jestliže srovnáme maximum obvodových napětí opět s max. napětím podélným v přímé trubce, na kterou působí stejný Mo, dojdeme k výrazu

vz17.jpg

 kde 

vz18.jpg

 (platí jen pro hf > 0,3) a nazývá se součinitel zvětšení obvodových napětí (intenzifikační faktor obvodových napětí). Další autoři se snažili tento výsledek zpřesnit, resp. zvětšit obsah jeho platnosti. Nejpravděpodobnější výsledek obdrželi zřejmě opět Clark a Reissner:

vz19.jpg

který platí pro hf > 5 .
Pro běžné případy by bylo vhodné užívat hodnot  podle Clarka a Reissnera, přičemž max. obvodové napětí by mohlo převýšit mez kluzu. Normy pro tlaková potrubí však doporučují s ohledem na únavové testy používat pro podélná i obvodová napětí stejného součinitele zvýšení

vz20.jpg

            Uvedené vztahy podle Clarka a Reisnera jsou zapracopvány v normách a to jak v USA (ASME), tak v Evropě (EN13 480).
 
 

5. Korekce vratné deformace průřezu ohybu při rovinném zatížení

 

 

 obr.1.jpg

Obr. Deformace trubkového oblouku při rovinném zatížení

      Působí-li ohybový moment tak, že zvětšuje křivost oblouku, zmenší se poloměr střednice a zároveň dojde k deformaci příčného průřezu. Z kruhového průřezu se stane průřez oválný, přičemž kratší osa oválu leží v rovině ohybového momentu.  I zde platí vztah odvozený von Karmánem, který říká, že skutečný ohybový moment, který způsobí natočení koncových průřezů oblouku o úhel, přičemž původní úhel oblouku  bude:

 vz6.jpg

Při k = 1 je rovnice platná pro oblouk, kde není deformace příčného průřezu na ovál. Hodnota k je u trubkových oblouků vždy menší než 1 v důsledku zmenšení momentu setrvačnosti průřezu, který vznikl zploštěním.

 

6. Korekce trvalé deformace průřezu ohybu způsobené výrobou

            Zde se však budeme zabývat ohybem potrubí, který byl vyroben technologiemi, při kterých je zploštěn kruhový průřez ohybu do elipsy.  Při větším zploštění během výroby lze tento vliv částečně při výpočtu eliminovat tím, že místo momentu setrvačnosti příčného průřezu dosadíme do předešlé rovnice za J vzorec pro eliptickou trubku:

 vz8.jpg

 

7. Literatura a odkazy pro další a podrobnější informace 
 
 
ČSN EN 13480-3 Kovová průmyslová potrubí – Část 3 Konstrukce a výpočet, Příloha H
Podroužek L.: Navrhování, stavba a provoz tepelných sítí I. a II. Díl, SNTL Praha, 1956
Timošenko S.: Pružnost a pevnost II. díl, Technicko-vědecké vydavatelství, Praha 1951
Timošenko S.: Theory of Plates and Shells, Mc Graw Hill, New York, 1940